Hablaremos de las variables, los cuantificadores y los métodos de prueba, incluida la inducción y la recursión.
En cuanto a las variables, el documento menciona que es un término amplio con muchas interpretaciones. Se refiere a un símbolo que representa una cantidad, relación u otras estructuras matemáticas. La esencia de una variable es que representa un conjunto de cantidades, relaciones o estructuras matemáticas.
También menciona que las variables pueden variar de tres maneras distintas:
- Variables que no varían: habitualmente se denominan incógnitas.
- Variables discretas: una forma de demostrar la naturaleza discreta de la variabilidad de las variables es con tablas.
- Variables continuas: en este caso, la variable se presenta de la misma forma que si fuera discreta, con la diferencia de que cambia constantemente, es decir, toma valores continuos.
En cuanto a los cuantificadores, el documento menciona que entre los principales se encuentran el cuantificador universal y el cuantificador existencial.
El cuantificador universal es la proposición que afirma que P(x) es verdadera para todos los valores de x en el dominio. Se representa con el símbolo ∀x, que se lee “para todo x” o “para todo valor de x”.
El cuantificador existencial es una proposición que es verdadera, si y solo si, P(x) es verdadera para al menos un valor de x en el dominio. Se representa con el símbolo ∃x, que se lee “existe x” o “existe valor de x”.
En cuanto a los métodos de prueba, el documento menciona que un teorema es una sentencia que se puede verificar su veracidad. A veces, a los teoremas se les llama proposiciones, hechos o resultados. Con el fin de demostrar que un teorema es verdadero se emplea una demostración, que está constituida por una secuencia de sentencias. Las demostraciones se construyen utilizando métodos para derivar sentencias nuevas a partir de sentencias conocidas.
Las reglas de inferencia justifican los pasos dados para demostrar que, a partir de una serie de hipótesis, se llega de forma lógica a una conclusión.
El documento también menciona otros métodos de demostración de teoremas:
- Demostración directa: se parte de la implicación p→q, que significa que, si p es verdadera, q también lo es, y, por lo tanto, no se puede dar el caso de que q sea falsa siendo p verdadera.
- Demostración indirecta: se parte de que la implicación p→q es equivalente a ¬q→¬p lo que significa que, si q no se cumple, p tampoco.
- Demostración por reducción al absurdo: consiste en demostrar que una proposición es verdadera porque, en caso de no ser verdadera, se produciría una contradicción y, por tanto, se podría concluir que sí es verdadera.
- Demostración por casos: si se tiene una proposición formada por disyunciones (expresiones unidas por el símbolo ∨, que se lee “o”), se puede demostrar cada una de ellas de forma individual.
- Demostración por equivalencias: un teorema, que está formado por un bicondicional, es decir con una doble implicación de la forma p→q (“p sí y sólo sí q”), se puede demostrar utilizando el método de prueba o demostración por equivalencia.
- Demostración de existencia: se emplea para demostrar los teoremas que afirman la existencia de un tipo particular de objetos.
- Demostración de unicidad: en parte, es similar a la demostración existencial, pero aumentando la restricción de que únicamente existe un elemento, por lo que se puede decir que sí y x, entonces y no puede cumplir la propiedad.
- Demostración por contraejemplos: en el caso de que se quiera demostrar una proposición de la forma ∀xP(x), si se halla una x para la cual P(x) es falsa, es decir que no se cumple la proposición, se ha encontrado un contraejemplo para demostrar que ∀xP(x) en este caso, no sería una afirmación verdadera.
En cuanto a la inducción, el documento menciona que muchas veces es necesario demostrar teoremas que afirman, por ejemplo, que P(n) se cumple para todos los valores de n, siendo n un número entero positivo, es decir n ∈ N. En estos casos se suele utilizar el método de demostración por inducción.
El proceso de inducción es una forma de razonar que parte de hechos particulares a principios generales.
En cuanto a la recursión, el documento menciona que en ocasiones, la forma más sencilla de definir objetos es en términos de ellos mismos. Un sistema recursivo es un sistema que se crea nuevas instancias a partir de otras propias. La recursividad se puede utilizar para crear funciones, sucesiones y conjuntos.